4.2.1 等差数列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 （基础知识+基本题型） 知识点一 等差数列的概念 1．文字语言叙述 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2．符号语言叙述 在数列中，若或，为常数，则数列是等差数列，常数称为等差数列的公差. 3．作用 （1）用于证明数列是等差数列； （2）判断一个数列是否为等差数列. 提示 （1）定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差. （2）定义中“每一项与它的前一项的差”也有两层含义：其一，强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻. （3）注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列. 知识点二 等差中项 1．概念 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.若是，的等差中项，则，反之亦然. 2．等差数列中的通项公式： 3．作用：证明数列是等差数列. 拓展 （1），，成等差数列. （2）若，则数列为等差数列，反之也成立，所以数列为等差数列.这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”. （3）在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项；在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项 知识点三 等差数列的通项公式 1．通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式：. 2．对通项公式的理解 通项公式中含有四个基本元素，即首项、序号、公差、第项.如果知道其中三个，那么就可以求出另一个.具体变形如下： （1）若已知，，（），则； （2）若已知，，，则； （3）若已知，，，则. 解此类问题时，要充分挖掘题设条件，建立关于基本量的方程或方程组，从而将数列问题转化为方程问题. 拓展 （1）等差数列的通项公式的推导 方法名称 证明过程 归纳法 因为是等差数列，则有： …… 所以由此猜测. 当时，上面的等式两边均为，所以等式也是成立的. 这就说明当时， 累加法 因为是等差数列，所以，， ，……，. 以上各式两边分别相加，得， 所以 迭代法 因为是等差数列， 所以 （2）等差数列的通项公式的变形 对于任意正整数，有： 3．等差数列的通项公式与一次函数的关系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 定义域为，图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点 定义域为R，图象为一条直线 相同点 通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，是最简单的，也是最基本的数列和函数 警示 公差与等差数列单调性的关系： （1）当时，是递增数列； （2）当时，是递减数列； （3）当时，是常数列； 知识点四 等差数列的常用性质 等差数列的常用性质 性质1 通项公式的推广： 性质2 若为等差数列，且，则 性质3 若为等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为 性质4 若，分别是以，为公差的等差数列，则是以为公差等差数列 性质5 若是等差数列，则，，，…组成公差为的等差数列 拓展 （1）性质2可推广到三项的情形，即“，且 ”，还可以推到四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可. （2）若，则，此性质实质上是上述性质2的特例. （3）若是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和， 即. （4）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列.例如，构成等差数列， 也构成等差数列. 考点一 等差数列的通项公式及应用 例1 在等差数列中，已知，，求. 解：设数列的公差为，由题意，得，解得. 故. 所以. （1）在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素. （2）有关等差数列的问题，如果条件与结论间的关系不明显，则均可化成关于，的方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 例2 已知等差数列6，3，0，…. （1）试求此数列的第100项； （2）－30是不是这个数列中的项？－40是不是这个数列中的项？若是，分别是第几项？ 解：（1）设此数列为，则首项，公差， 所以通项公式为，所以. （2）令，解得，所以－30是这个数列中的项，是第13项. 令，解得，因为不是正整数，所以－40不是这个数列中的项. 判断某数是否为数列中的项的方法：将此数代入通项公式，若得到的是正整数，则该数是数列中的项，否则不是. 考点二 等差数列的判定与证明 例3 已知数列满足，. （1）数列是否为等差数列？说明理由；（2）求. 解：（1）数列是等差数列.理由如下： 因为，，所以， 所以，即是首项为，公差