4.1 数列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念 （基础知识+基本题型） 知识点一 数列的概念 1．数列及其有关概念 （1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列. （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第项，…. 2．数列的表示 数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为，这里是正整数. 提示 （1）数列中的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就不是相同的数列.例如，数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是两个不同的数列. （2）数列的定义并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复出现.例如，1，－1，1，－1，1，…；与2，2，2，2，2，…. （3）数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号.我们还应注意到，这里与是不同的；表示数列，，，…，，…，而只表示这个数列的第项.这里是数列的简记符号，并不表示一个集合. 拓展 （1）数列的项与集合中的元素的区别： 数列中的项具有确定性，有序性，可重复性，不具有互异性；集合中的元素具有确定性，无序性，互异性. （2）数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，}）为定义域的函数.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数，如果（1，2，3，…，，…）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…. 知识点二 数列的分类 1．按项的个数分类 类别 含义 举例 有穷数列 项数有限的数列 1，2，3，…， 无穷数列 项数无限的数列 －1，1，－1，1，…，－1，1，… 2．按项的变化趋势分类 类别 含义 举例 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 2，4，6，8，10，…，，… 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 ，，，，…， ，… 常数列 各项都相等的数列 7，7，7，7，… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 －1，2，－3，4，－5，… 拓展 数列作为一类特殊的函数，其某些性质可借助函数性质的判断方法来判断.用，分别表示数列的第项和第项，数列的单调性可从下列几方面判断： （1）根据定义判断：若，则是递增数列；若，则是递减数列. （2）作商比较：前提条件是各项均为正数，即当时，若（或），则数列是递减（或递增）数列. （3）根据数列的图象判断：图象上升为递增数列，图象下降为递减数列. 知识点三 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 提示 （1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，}为定义域的函数表达式. （2）如果给出了数列的通项公式，那么只要依次用.例如，1，－1，1，－1，1，…；与2，2，2，2，2，…. （3）不是所有的数列都有通项公式.例如的不同近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式. （4）有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成. 知识点四 数列的递推公式 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）（，）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 提示 （1）不是所有的数列都有递推公式. （2）递推公式也是给出数列的一种重要形式.递推公式和通项公式都是关于项数的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换，就可以求出数列的各项. （3）递推公式通过赋值可以逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项或所需的项. （4）运用递推法给出数列，可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，如具有周期性的数列. 拓展 （1）通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项是序号的函数式 都可以确定数列 递推公式 已知（或前几项）及相邻（几）项间的关系式 （2）数列的通项公式与递推公式的作用 ①数列的通项公式是给出数列的主要形式.如果已知数列的通项公式，那么只要用1，2，3，…代换公式中的，就可以求出这个数列的各项与指定项.另外，根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值. ②数列的递推公式是给出数列的另一重要形式.一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项. 知识点五 数列的前项与通项