第三章 1 指数幂的拓展 2 指数幂的运算性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

#　指数幂的拓展 　指数幂的运算性质 学业标准 1.通过对有理数指数幂 (a＞0，且a≠1，m，n为整数，且m，n互素)，实数指数幂aα(a＞0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(难点) 2．掌握指数幂的运算性质．(重点) [教材梳理] 导学1 正分数指数幂、负分数指数幂 　薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数满足关系式S＝S0·2t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．试计算3年后薇甘菊的侵害面积是多少？再计算6.5年后薇甘菊的侵害面积是多少？如何表示？ [提示]　3年后薇甘菊的侵害面积是S0·23＝8S0. 那么6.5年后薇甘菊的侵害面积是S0·26.5，这里指数幂中的指数是分数，需要将正整数指数幂拓展． ◎结论形成 分数指数幂的意义 1．正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义，这就是负分数指数幂. 导学2 无理数指数幂 　我们将正整数指数幂扩充到有理数指数幂，那么指数幂的范围能扩充到无理数指数幂吗？能扩充到实数指数幂吗？ [提示]　能． ◎结论形成 给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝. 导学3 指数幂的运算性质 对任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β；(2)(aα)β＝aαβ； (3)(ab)α＝aαbα；(4)α＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝.(　　) (2)对于a∈R，(a2＋a＋1)0＝1成立．(　　) (3)a3·＝a.(　　) 解析　(1)＝. (2)因为a2＋a＋1≠0，所以(a2＋a＋1)0＝1成立． (3). 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2.可化为(　　) 解析　＝. 答案　A 3．下列等式一定成立的是(　　) 解析　. 答案　D 4. 的值为______． 解析　原式＝－(2－1)3＝－－＝. 答案　 题型一　根式与分数指数幂的互化 　用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)： (1)a2；(2)；(3)·； (4)()2·. [自主解答]　(1)原式＝ [答案]　 ●规律方法 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数化为, 分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数化为, 分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简． [触类旁通] 1．设a＞0，则表示成分数指数幂是(　　) 解析　 答案　C 题型二　指数幂运算性质的应用 　(1) ＝________； (2)计算下列各式： [自主解答]　(1) (2)①原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝－1＋＋＝. ②原式＝＝a0b0 ＝. ●方法技巧 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [触类旁通] 2．(1)化简 (a＞0，b＞0)； 题型三　含附加条件的求值问题 一题多变 　已知＝(a＞0)，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [自主解答]　(1)将＝的两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求a2－a－2的值． 解析　设y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45. 所以y＝±3，即a2－a－2＝±3. 2．(变条件)将本例中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解析　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝±. ●素养聚焦　通过整体代入，合理运算，提高运算求解能力，进而提升数学运算核心素养． ●规律方法 条件求值的步骤 [基础巩固] 1．用分数指数幂的形式表示a3·(a＞0)的结果是(　　) 答案　B 2．下列各式正确的是(　　) 答案　D 3．(多选题)下列各式不正确的是(　　) 解析　A中7＝n7m－7，故A错；B中的＝＝，故B错；C中不可进行化简运算，故C错；D中的＝＝＝，故D正确． 答案　ABC 4．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝__