第二章 2.2 函数的表示法（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

§#2.2　函数的表示法 学业标准 1.掌握函数的三种表示方法．(重点) 2．会求函数的解析式．(难点) [教材梳理] 导学 函数的三种表示法 　函数的三种表示方法各有什么优点？ [提示]　(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． (2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． (3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值． 　任何一个函数都可以用解析法表示吗？ [提示]　不是．如某地区一天中每时每刻的温度，由于受自然因素影响较大，无法借助函数解析式来具体描述． ◎结论形成 函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值　 仅能表示自变量取有限个值的函数　 图象法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 能形象直观地表示函数的变化情况　 只能近似求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法　 一是简明、全面概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值 不够形象，直观，不是所有函数都有解析式 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)把函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度可得函数y＝(x＋3)2的图象．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 解析　(1)有些函数是不能画出图象的，如f(x)＝ (2)并不是所有的函数都可以用解析式表示． (3)函数y＝x2的图象向右平移3个单位可得函数y＝(x－3)2的图象． (4)有些函数的图象不是一条连续不断的曲线，如f(x)＝的图象就不是连续的曲线． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知f(x)＝，则f(2)＝(　　) A．1　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析　f(2)＝＝. 答案　C 3．已知函数f(x＋1)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x 解析　因为f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，所以f(x)＝2x－1. 答案　B 4．若函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________． 解析　由f(x)的图象可知，－5≤x≤5，－2≤y≤3. 答案　[－5,5]　[－2,3] 题型一　求函数的解析式 一题多解 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． [自主解答]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴ 解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一　(配凑法) ∵f(＋1)＝x＋2＝ (＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二　(换元法) 令＋1＝t(t≥1)， 则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝ t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． ●规律方法 求函数解析式的常用方法 1．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 2．换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)． [触类旁通] 1．(1)已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________. (2)已知f＝，求则f(x)＝________. 解析　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c， f(2x－1)＝a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝8ax2＋4bx＋2a＋2c＝16x2－4x＋6， 所以所以 所以f(x)＝2x2－x＋1. (2)令＝t，则x＝，且t≠0， ∴f(t)＝＝＝， ∴f(x)＝(x≠0) 答案　(1)2x2－x＋1　(2)(x≠0) 题型二　函数的图象及应用 　作出下列函数