第一章 4.2 一元二次不等式及其解法（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

§#4.2　一元二次不等式及其解法 学业标准 1.通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(难点) 2．掌握含有参数的一元二次不等式的解法．(重点) [教材梳理] 导学1 一元二次不等式的有关概念 　当a＞0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α＜β，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　借助函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x＜α或x＞β}． 　若问题1中的a＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　解集为{x|α＜x＜β}． ◎结论形成 1．一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式及解集 一般形式 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c为常数且a≠0) 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫这个一元二次不等式的解集 导学2 一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系 　设一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集分别为{x|x＜x1或x＞x2}，{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？ [提示]　 x1＋x2＝－，x1x2＝. 　由问题1中的结论可知，不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集的端点与对应方程ax2＋bx＋c＝0的两根之间有什么关系？ [提示]　不等式解集的端点值是相应方程的根． ◎结论形成 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不等 的实根 x1,2＝ (x1＜x2) 有两个相等 的实根x1＝ x2＝－ 没有实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx ＋c＞0 (a＞0) {x|x＜x1 或x＞x2} R ax2＋bx ＋c＜0 (a＞0) {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) 解析　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅. (3)当二次项系数小于0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}． 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A.　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞) 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为∪(1，＋∞)． 答案　D 3．不等式x2－5x＋6≤0的解集为________． 解析　利用一元二次不等式的解法求解． ∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 答案　{x|2≤x≤3} 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________． 解析　根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　解一元二次不等式 　解下列不等式： (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. [自主解答]　(1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3，x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3,0)和(5,0)，(如下图所示) 观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}． (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. ∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为{x|－3＜x＜1}． (3)原不等式移项整理得 3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根． 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向