4.1 第1课时 数列的概念与表示（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第四章　　数列 4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 　 观察下列实例： 1．三角形数　 2.正方形数 上述实例都是按照一定顺序排列的一列数，这就是我们今天学习的数列。 【问题】　这些数列每一项的数与表示图形的序号有什么关系？ 提示：设数列的第n项为an，图①中an＝n(n＋1)(n∈N*)，图②中an＝n2(n∈N*)。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数。 1.根据数列与集合之间的区别与联系，切实把握数列的概念及其表示法。 2．通过观察具体数量，分析、归纳项的变化规律，认识数列的通项公式。 3．用函数的观点来解释数列的有关问题，加深对数列本质的认识。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．数列的概念 (1)数列与数列的项 ①数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列。 ②数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示。其中第1项也叫做首项。 (2)数列的一般形式 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}。 (3)数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)。 微提醒 数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1,2,3，…与3,2,1，…就是不同的数列。 2．数列的表示方法 (1)表示方法：解析式法、表格法、图象法。 (2)数列的单调性 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 微提醒 (1)数列的通项公式就是数列的函数解析式； (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。 微思考 1．数列与集合之间有怎样的区别与联系？ 提示：区别：数列中的项具有有序性、可重复性，集合中的元素具有无序性、互异性；数列中的每一项必须是数，集合中的元素可以是数，也可以是点、方程以及其他事物等。 联系：数列中的项与集合中的元素都具有确定性。 2．{an}与an是两个相同的概念吗？ 提示：不是，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an只是数列{an}的第n项。 3．函数y＝2x与数列{an}的通项公式an＝2n有什么区别？ 提示：函数y＝2x的自变量是连续变化的，图象是连续的直线。an＝2n的自变量是离散的，图象由离散的点构成。 初试身手 1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝n＋1，n∈N* C．an＝n＋2，n∈N* D．an＝2n，n∈N* 解析　这个数列的前4项都比序号大2，所以它的一个通项公式为an＝n＋2，n∈N*。 答案　C 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 解析　令n2＋1＝122，则n2＝121，所以n＝11或n＝－11(舍去)。 答案　C 3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝______。 解析　a8＝2×8－1＝15。 答案　15 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 数列的概念及分类 【例1】　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4,7,3,4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1,2,3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 解析　由数列的相关概念可知，数列4,7,3,4的首项是4，故A正确。同一个数在数列中可以重复出现，故B错误。按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1,2,3，…就是数列{n}，故C正确。数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确。 答案　ACD (2)已知下列数列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1。 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递