4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，第七天9 000。得到数列：6 000，6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000。 【问题】　你发现这个数列有什么特点了吗？ 提示：从第2项起，每一项与前一项的差都是500，即该数列是一个等差数列。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.通过生活实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2．体会等差数列与一次函数的关系。 1.理解等差数列的定义是推证等差数列的通项公式、性质，以及判定等差数列的关键。 2．利用一次函数的性质解决与等差数列有关的问题，从函数、方程的观点解释等差数列的有关问题，加深对等差数列本质的认识。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时A叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b。 3．等差数列的通项公式 (1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。 (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上。 ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为k＋b，公差为k。 微思考 1．如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是常数，那么这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定。如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列，因此等差数列的定义中强调“差都等于同一个常数”。 2．任何两个数都有等差中项吗？ 提示：任何两个数都有等差中项。 3．数列{an}的通项公式是an＝2n＋3，则数列{an}是等差数列吗？ 提示：是等差数列，其公差是2。 初试身手 1．下列数列是等差数列的是(　　) A.，，， B．1，，， C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0 解析　因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；因为－1－1≠1－(－1)，故排除C。 答案　D 2．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2 解析　an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1。 答案　A 3.＋1与－1的等差中项是________。 解析　设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝＝。 答案　 　细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等差数列的通项公式及应用 【例1】　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9。 解　(1)由题意， 知 解得 (2)由题意，知 解得 所以a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17。 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程，通过列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量。 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为(　　) A．－14 B．－7 C．7 D．14 解析　因为a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则4d＝28，解得d＝7。 答案　C (2)在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析　因为在等差数列{an}中，a5＋a10＝12，所以2a1＋13d＝12,3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24。 答案　C 类型二 等差中项 【例2】　(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项。 (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项公式为xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。求p，q的值。 解　(1)因为a和2b的等差中项是5，所以a＋2b＝10，① 又因为3a和4b的等差中