4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 　 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计。例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈。 【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 提示：9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块)。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 从等差数列前n项和公式的推证过程出发，结合等差数列的通项公式，体会倒序相加法的特点，把握等差数列前n项和公式的特征及应用。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 等差数列的前n项和公式及其推导 等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 推导过程 对于等差数列{an}，因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，用两种方式表示Sn：Sn＝a1＋a2＋…＋an　①，Sn＝an＋an－1＋…＋a1　②。①＋②得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝＝n(a1＋an)。 由此得到等差数列{an}的前n项和公式Sn＝。 把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入上式， 可得Sn＝na1＋d 微提醒 (1)当已知首项a1，末项an，项数n时，用公式Sn＝。 (2)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋d。 微思考 1．等差数列的前n项和公式中共含有几个基本量？你认为需要知几个量，才能求得其他量？ 提示：含有a1，d，an，n，Sn，共五个基本量。需要知道三个量，才能求得其他量。 2．等差数列前n项和公式中的意义是什么？ 提示：＝，即等差数列前n项的平均数。 3．若数列{an}是等差数列，则S2n＋1与an＋1有什么关系？ 提示：S2n＋1＝(2n＋1)an＋1。 初试身手 1．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为(　　) A．128 B．80 C．64 D．56 解析　设数列{an}的前n项和为Sn，则S8＝＝＝＝64。 答案　C 2．平均数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为________。 解析　设该数列的首项为x，由题意可得1 010＝，解得x＝1。 答案　1 3．若数列{an}是等差数列，a2＋a4＋a9＝24，则S9＝________。 解析　因为a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24，所以a1＋4d＝8，即a5＝8。又S9＝＝9a5＝72所以S9＝72。 答案　72 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等差数列前n项和的计算 【例1】　(1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 所以Sn＝18n－n(n－1)＝63， 解得n＝6或n＝7。 故n的值为6或7。 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28。 解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d。 将S12＝84，S20＝460分别代入， 得 解得 所以S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋14×27×4＝1 092。 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”。一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题。解题时注意整体代换的思想。 (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用。 【变式训练】　(1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．－1 解析　a1＋(n－1)×2＝11　①，Sn＝na1＋×2＝35　②，由①②解得a1＝3或a1＝－1。 答案　BD (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　) A．36 B．72 C．144 D．288 解析　解法一：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72。 解法二：因为a8＋a10＝2a9＝28，所以a9＝14，所以S9＝＝72。 答案　B 类型二 利用an与Sn的关系解决问题 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列