4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 　 等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数，那么这个函数和二次函数有什么关系呢？等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢？这一节课我们就来研究一下这些问题。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.会利用等差数列的性质简化求和运算。 2．会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 3．会利用等差数列前n项和解决一些实际问题。 利用等差数列前n项和公式与二次函数的关系，借助函数与方程的思想来解决等差数列前n项和的有关问题，加深对等差数列的认识。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为。 (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d。 (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝。 2．等差数列前n项和及其最值 (1)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋n。 (2)等差数列前n项和的最值 ①在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定。 ②因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值。 微思考 1．在等差数列{an}中，若a1>0，d>0或a1<0，d<0时，Sn能否取得最值？ 提示：当a1>0，d>0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1<0，d<0时，Sn的最大值为a1，无最小值。 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？ 提示：因为an＝2n－37，an＋1－an＝2>0，所以{an}为递增数列。由an＝2n－37≥0。得n≥18.5。所以a18<0，a19>0，所以S18最小，即当n＝18时，Sn取得最小值。 初试身手 1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析　因为等差数列有2n＋1项，S奇－S偶＝a中，所以a中＝15。又S2n＋1＝(2n＋1)a中，所以165＋150＝(2n＋1)×15，所以n＝10。 答案　B 2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且＝，则＝________。 解析　＝＝＝。 答案　 3．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取得最大值，最大值是________。 解析　由an＋1＝an－4，得{an}为等差数列，且公差d＝an＋1－an＝－4，故an＝－4n＋36。令an＝－4n＋36≥0，得n≤9，故当n＝8或n＝9时，Sn最大，且S8＝S9＝144。 答案　8或9　144 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等差数列前n项和的性质应用 【例1】　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130 B．170 C．210 D．260 解析　由等差数列前n项和的性质：Sn，S2n －Sn，S3n－S2n成等差数列，得Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2×(100－30)，解得S3n＝210。 答案　C (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________； 解析　因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10。 答案　10 (3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________。 解析　由等差数列前n项和的性质，知＝＝＝＝＝。 答案　 常用的等差数列前n项和的性质 (1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝pn2＋qn(p，q为常数)⇔数列为等差数列； (3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S 偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝。 【变式训练】　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．18 B．17 C．16 D．15 解析　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋