4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　等比数列前n项和的应用 　 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，求每天走的路程。” 【问题】　此人第5天走的路程是多少里？ 提示：记每天走的路程里数构成数列{an}，可知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，则a5＝a1×4＝12，故此人第五天走的路程为12里。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。 　能在实际问题中应用等比数列求和公式解决一些问题。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 实际应用中的等比数列求和 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤如下： (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算。 微思考 日常生活中数列求和有许多应用，比如银行的存款、贷款业务，那么复利与单利有什么区别呢？ 提示：复利是把上期的本金和利息都作为下一期的本金计算，即“利滚利”，而单利只是把上一期本金也作为下一期的本金计算，不是“利滚利”。 初试身手 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的。问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝________尺。 解析　由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－n－1，所以Sn＝2n－1＋2－n－1＝2n－n－1＋1。 答案　2n－n－1＋1 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 几何图形中的求和问题 【例1】　把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了________个正方形； 解析　8×9＋1＝73。 答案　73 (2)第n个图形挖掉正方形的面积和是________。 解析　设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝。原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n。 答案　1－n 本题采用归纳法求出an－a n－1＝8n－1，然后采用累加法求出通项公式an。 【变式训练】　(多选)如图所示，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足＝an＋1·－2(2an＋3)·，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列 C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2 解析　因为E为AB中点，所以2＝＋，所以＝－＋2，又D，Gn，B三点共线，所以＝λ＝－λ＋2λ，又＝an＋1·－2(2an＋3)·，所以化简可得an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是等比数列。又a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n－1，所以an＝2n＋1－3，所以a3＝13，所以Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4。 答案　AB 类型二 生活实践中的求和问题 【例2】　若某地区2019年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2020年开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.5万人，从2030年开始到2039年年底每年人口为上一年的99%。 (1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注：2020年为第1年)； (2)若实施新政策后，从2020年到2039年年底平均每年的人口总数超过49万，则需调整政策，否则无须调整。试判断到2039年年底是否需要调整政策。(附：0.9910≈0.9) 解　(1)当1≤n≤10时，数列{an}是首项