课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用（教师Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

课时达标检测(六)　等差数列前n项和的性质及应用 基础达标　 一、单项选择题 1．一个等差数列共有10项，其奇数项之和是，偶数项之和是15，则它的首项与公差分别是(　　) A．， B．，1 C．1， D．，2 解析　设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，由S偶－S奇＝5d＝15－＝，得d＝。再由S10＝10a1＋×＝15＋，得a1＝。 答案　A 2．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A．S6<S5 B．S4＝S5 C．S4<S5 D．S6＝S5 解析　由条件知解得所以an＝2n－10，所以n＝5时，a5＝0，所以S4＝S5。 答案　B 3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和S′n，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　) A． B． C． D． 解析　由等差数列前n项和的性质，得＝＝＝＝＝＝。 答案　C 4．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，前n项和为Sn，则数列的前10项和为(　　) A．120 B．100 C．75 D．70 解析　由题意，得Sn＝＝n(n＋2)，所以＝n＋2，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，数列的前10项和为10×3＋×1＝75。 答案　C 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S13>0，S14<0，若ak·ak＋1<0，则k＝(　　) A．6 B．7 C．21 D．14 解析　因为{an}为等差数列，所以S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，又S13>0，S14<0，所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7。故选B。 答案　B 6．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 005＋a2 006>0，a2 005·a2 006<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　) A．4 009 B．4 010 C．4 011 D．4 012 解析　因为a1＋a4 010＝a2 005＋a2 006>0，所以S4 010>0。又因为a1>0，a2 005＋a2 006>0，a2 005·a2 006<0，所以a2 006<0，所以S4 011＝4 011·a2 006<0。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S19＝0 解析　因为2a1＋3a3＝S6，所以2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，所以a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d<0时，Sn没有最小值，B错误；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，所以S12＝S7，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确。 答案　ACD 8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．－<d<－3 D．S1，S2，…，S12中最大的是S6 解析　a3＝a1＋2d＝12，将a1＝12－2d代入S12＝12a1＋d>0，S13＝13a1＋d<0，化简求得－<d<－3，所以数列{an}是递减数列，故A不正确，C正确；因为S5＝5a3＝5×12＝60，故B正确；由d<0可知a1>a2>…>a11>a12，则在1≤n≤12中若存在自然数n，使得an>0，an＋1<0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值。由题意，得解得a6>0，a7<0。故S1，S2，…，S12中最大的是S6，D正确。故选BCD。 答案　BCD 三、填空题 9．已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n＝________。 解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n。令an>0，得n<6.5。所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6。 答案　6 10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，设S12＝λS8，则λ＝________。 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，则由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，所以2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，解得λ＝2。 答案　2 11．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________。 解析　因为a10<0，a11>0，且a11>