课时达标检测(十) 等比数列前n项和的应用（教师Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

课时达标检测(十)　等比数列前n项和的应用 基础达标　 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝a3－8，且S3＝13，则a2＝(　　) A．－3 B．3 C．－ D．3或－ 解析　设公比为q，易知q≠1。 由得解得或当时，a2＝a1q＝3；当时，a2＝a1q＝－，所以a2＝3或a2＝－。 答案　D 2．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于(　　) A．(8n－1) B．(8n＋1－1) C．(8n＋2－1) D．(8n＋3－1) 解析　f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝(8n＋1－1)。 答案　B 3．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C． D． 解析　因为d＝2，a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2a8，即(a2＋2d)2＝a2(a2＋6d)，解得a2＝4，所以a1＝2。所以利用等差数列的求和公式可求得Sn＝n(n＋1)。 答案　A 4．在正项数列{an}中，a1＝2，且点P(ln an，ln an＋1)(n∈N*)位于直线x－y＋ln 2＝0上。若数列{an}的前n项和Sn满足Sn>200，则n的最小值为(　　) A．2 B．5 C．6 D．7 解析　将(ln an，ln an＋1)(n∈N*)代入x－y＋ln 2＝0，可得an＋1＝2an，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，Sn＝＝2n＋1－2，令Sn>200，则2n＋1>202，所以n的最小值为7。 答案　D 5．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论。他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000 m，此时乌龟便领先他100 m；当阿基里斯跑完下一个100 m时，乌龟仍然领先他10 m；当阿基里斯跑完下一个10 m时，乌龟仍然领先他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟。按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2m时，乌龟爬行的总距离(单位：m)为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：m)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：m)为S5＝＝＝。 答案　B 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队长，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　) A．(87－8)人 B．(89－8)人 C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人 解析　该问题中有8名将官，82名先锋，83名旗头，84名队长，85名甲头，86名士兵，则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋82＋83＋84＋85＋86＝＝×(87－8)(人)。 答案　A 二、多项选择题 7．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝1 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析　由题意，可得a2a3＝a1a4＝32>0，a2＋a3＝12>0，故a2>0，a3>0。根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根。解得a2＝4，a3＝8或a2＝8，a3＝4。故必有公比q>0，所以a1＝>0。因为等比数列{an}是递增数列，所以q>1。所以a2＝4，a3＝8满足题意。所以q＝2，a1＝＝2。故选项A不正确。an＝a1·qn－1＝2n。因为Sn＝＝2n＋1－2，所以Sn＋2＝2n＋1＝4·2n－1。所以数列{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。故选项B正确。S8＝28＋1－2＝512－2＝510。故选项C正确。因为lg an＝lg 2n＝n，所以数列{lg an}是公差为1的等差数列。故选项D不正确。 答案　BC 8．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a6a8>1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6 解析　由a1>1，a6a7＝aq11>1>0，得q>0。若q>1，则a7>a6>1与<0矛盾，所以0<q<1，故A正确；又a6a7>1，所以a6>1，a7<1，由a6a8＝a<1，知B错误；因为an>0恒成立，所以Sn没有最大值，故C错误；又当n≤