课时达标检测(十五) 基本初等函数的导数（教师Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

课时达标检测(十五)　基本初等函数的导数 　基础达标　 一、单项选择题 1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值为(　　) A．4　　　　B．－4　　　　C．5　　　　D．－5 解析　因为f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，所以α＝4。 答案　A 2．曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 解析　因为f′(x)＝3x2，设切点为(x0，f(x0))，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线。所以曲线f(x)＝x3的斜率等于1的切线有2条。 答案　B 3．已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为(　　) A．1 B. C．－1或 D．－1 解析　由g(x)＝ln x，得x>0，且g′(x)＝。故2x＋1＝，即2x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)。故选B。 答案　B 4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　) A. B. C. D. 解析　因为s′＝t，所以当t＝4时，s′＝×＝。 答案　B 5．正弦曲线y＝sin x上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 解析　因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]。所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪。 答案　A 6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析　y′＝，y′|x＝a＝x＝a＝，所以切线方程为y－＝(x－a)。令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a。由题意知S＝×a×＝2，解得a＝4。 答案　A 二、多项选择题 7．下列命题正确的是(　　) A．(logax)′＝ B．(logax)′＝ C．(3x)′＝3xln 3 D．(ln x)′＝ 解析　根据基本初等函数的导数公式知，(logax)′＝，(3x)′＝3xln 3，(ln x)′＝。所以AB均不正确，CD正确。 答案　CD 8．曲线y＝在点P处的切线方程与直线y＝x垂直，则点P的坐标可以是(　　) A. B. C. D. 解析　y′＝′＝－，由－＝－4，解得x＝±。所以P点的坐标为或。 答案　AB 三、填空题 9．若y＝10x，则y′|x＝1＝________。 解析　y′＝10xln 10，y′|x＝1＝10ln 10。 答案　10ln 10 10．若曲线y＝xα＋1(α∈Q，且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________。 解析　因为y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2。又该切线过点(0,0)，所以α＝2。 答案　2 11．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)等于________。 解析　因为f0(x)＝sin x， 所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝f′3(x)＝(－cos x)′＝sin x， 所以4为最小正周期， 所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x。 答案　sin x 四、解答题 12．求下列函数的导数。 (1)y＝x－5； (2)y＝4x； (3)y＝； (4)y＝sin； (5)y＝cos(2π－x)。 解　(1)y′＝(x－5)′＝－5x－6。 (2)y′＝(4x)′＝4xln 4。 (3)因为y＝x·x·x＝x， 所以y′＝x－。 (4)因为y＝sin＝cos x， 所以y′＝－sin x。 (5)因为y＝cos(2π－x)＝cos x， 所以y′＝－sin x。 13．已知曲线y＝ex，求该曲线过原点的切线方程。 解　设切点坐标为(x0，ex0)，在该点处的切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，故切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，当切线过原点时，有0－ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝1，因此所求切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex。 　拓广探索　 14．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．0 B. C. D．2 解析　如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值