2.5.1 椭圆的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.5.1　椭圆的标准方程 学业标准 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点、难点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) [教材梳理] 导学1 椭圆的定义 　圆是怎样定义的？ [提示]　平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆． ◎结论形成 1．椭圆的定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为焦距． 2．2a与|F1F2|的大小关系确定的点的轨迹 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 导学2 椭圆的标准方程 　已知平面内两个点F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝10，则动点P的轨迹方程是 [提示]　＋＝1. ◎结论形成 1．椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 焦点在x轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c,0)，F2(c,0) 2c 焦点在y轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 2.椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中 的位置 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [基础自测] 1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是(　　) A．一个椭圆　　　　　　　 B．线段AB C．线段AB的垂直平分线 D.直线AB 解析　定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上． 答案　B 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A.＋＝1 B.2x2－3y2＝2 C．－2x2－3y2＝－1 D.＋＝0 解析　A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程． 答案　C 3．(多选题)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1. 答案　AB 4．(2021·未央区校级期中)已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是 ． 解析　椭圆方程可化为x2＋＝1， 由题意知，解得k＝2. 答案　2 题型一　求椭圆的标准方程 一题多解 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． [解析]　(1)解法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得 即a2＝4，b2＝8，则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0， A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同， 所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.　① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.　② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. [规律方法] 确定椭圆方程的“定位”与“定量” [提醒]　若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1.(A＞0，B＞0，A≠B) [触类旁通] 1．(一题多解)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)； (2)经过两点(2，－)，. 解析　(1)解法一　因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知2a＝＋ ＝12， 所以a＝6.又c＝2， 所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二　因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0) 由题意得　　解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)解