1.2.4 二面角（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.2.4　二面角 学业标准 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点) 2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 二面角 　在地理学科中学习的经度和纬度有什么区别？黄赤交角是什么？ [提示]　经度是面面的交角，纬度是线面所成的角；黄赤交角指的是黄道平面(即地球公转的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23° 26′. ◎结论形成 1．二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0° 且不大于90° 的角的大小，这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的. 导学2 用空间向量求二面角的大小 　(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.则θ与〈v1，v2〉的关系是什么？ (2)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ与〈v，n〉的关系是什么？ [提示]　(1)θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉； (2)θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. ◎结论形成 设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量 (1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉； (2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． [基础自测] 1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是(　　) A．相等　　　　　　　　 B．互补 C．相等或互补 D.不能确定 解析　由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补． 答案　C 2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 解析　当二面角A­BD­C为锐角时， 它应等于〈n1，n2〉＝； 当二面角A­BD­C为钝角时， 它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝. 答案　C 3．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 解析　由题得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 则令x＝2，得y＝1，z＝， 则平面ABC的一个法向量为n＝. 平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)， 由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝. 答案　 4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为正三角形，若AA1＝AB＝1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成锐二面角的大小为 ． 解析　取AC中点D，则∠BDE为平面AEC与平面ABC所成锐二面角的平面角，∵tan∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°. 答案　30° 题型一　用定义法求二面角 　(1)(2021·湖北荆州高二期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1­AB­C的正切值为(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C. D. [解析]　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB中点M，连接C1M，CM，则∠C1MC即为二面角C1­AB­C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a，∴tan∠C1MC＝＝. [答案]　D (2)(2021·浙江绍兴高二期中)已知菱形ABCD满足AB＝2，AC＝2，现将△ABC沿直线AC进行翻折，当BD＝1时，二面角B­AC­D的平面角的大小是(　　) A. B. C. D. [解析]　设AC∩BD＝E，菱形ABCD满足AB＝2，AC＝2，BE＝DE＝1， 所以AC⊥BD，即BE⊥AC，DE⊥AC，所以∠BED就是二面角B­AC­D的平面角，由于BD＝1，所以BE＝DE＝BD＝1，所以△BED是等边三角形， 所以∠BED＝. [答案]　C [规律方法] 用定义法求二面角的步骤