1.2.3 直线与平面的夹角（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.2.3　直线与平面的夹角 学业标准 1.理解直线与平面的夹角的定义，并能用向量语言表述直线与平面的夹角．(重点、难点) 2.能利用向量方法解决直线与平面的夹角问题．(难点) [教材梳理] 导学1 直线与平面的夹角 　如图所示，在正方体 ABCD ­A1B1C1D1中． (1)cos∠AC1B＝ . (2)AC1与B1C所成的角 ． [提示]　(1)cos∠AC1B＝. (2)〈AC1，B1C〉＝. ◎结论形成 1．直线与平面所成的角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°. (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°. (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称这条斜线与这个平面所成的角． 2．斜线与平面所成的角的性质 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面 α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ. (1)cos θ＝cos θ1cos θ2； (2)平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角； (3)空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角； (4)经过平面外一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长，射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. 导学2 用空间向量求直线与平面的夹角 　v1，v2是空间中两条直线l1，l2的两个方向向量，θ是两条直线所成的角，θ与v1，v2有什么关系？ [提示]　θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ◎结论形成 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. (1)θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. (2)cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. [基础自测] 1．已知线段AB＝8，AB在平面α内的射影长为4，则直线AB与平面α所成的角θ为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．90° D.120° 解析　由题意得cos θ＝＝，∴θ＝60°. 答案　B 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B.60° C．120° D.150° 解析　由cos〈m，n〉＝，得〈m，n〉＝60°， ∴直线l与平面α所成的角为|90°－60°|＝30°. 答案　A 3．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是(　　) A．90° B.60° C．45° D.30° 解析　设P点在平面ABC内的射影为O，则O为外心，且AB⊥OC， ∴∠PCO为所求．由题可得OC＝×＝， PC＝，∴cos∠POC＝，∴∠PCO＝30°. 答案　D 4．已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ． 解析　设AB＝1，则AA1＝2，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,2)， C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0，1,2)， ∴＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)． 设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量， 则即取n＝(－2,2,1)． 设CD与平面BDC1所成角θ， 则sin θ＝＝. 答案　 题型一　用定义法解决直线与平面的夹角问题 　(1)(2021·绥化市第二中学高一期末)如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC， 所以PB与平面PAC所成角为∠BPC， 因为AC＝3，PA＝4，BC＝5，所以PC＝5，PB＝5， 所以sin∠BPC＝＝. [答案]　A (2)(2021·江苏盐城高二期中)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为(　　) A．45° B.60° C．30° D.75° [解析]　取BC的中点D，连接AD，B1D， 由AB＝AC，则AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面