14第二章 3.2 抛物线的简单几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#3．2　抛物线的简单几何性质 学业标准 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．能运用抛物线的性质解决有关问题．(重点) 3．掌握抛物线焦点弦问题的求解方法．(难点) [教材梳理] 导学　抛物线的简单几何性质 　根据抛物线方程y2＝2px(p＞0)，如何确定横坐标x的范围？ [提示]　由抛物线y2＝2px(p＞0)有所以x≥0.所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 　观察下面表格，探究以下问题： 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ [提示]　抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线． ◎结论形成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　x∈R，y≥0　 　x∈R，y≤0　 对称轴 __x轴__ x轴 y轴 __y轴__ 顶点 __原点__ 离心率 __e＝1__ 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ [拓展] 1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点，一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线． 2．抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形．(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (4)抛物线焦点到准线的距离等于p.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　) A．8　　　　　　　　　 B．6 C．4 D．2 解析　∵抛物线的方程为y2＝8x， ∴其准线l的方程为x＝－2， 设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|， 即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2， ∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6， ∴|PF|＝6＋2＝8. 答案　A 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y. 答案　D 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 解析　设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2， ∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2. 答案　2 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程(一题多解) 　(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． [自主解答]　(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 方法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F. 因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故解得 所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 方法二　如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2.所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. (2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点F，直线l：x＝，所以A，B两点的坐标分别为，，所以|AB|＝2|a|. 因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，所以a＝±2.故所求抛物线的标准方程为y2＝