拓展一：数列求通项（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展一：数列求通项（精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：法： 角度1：用，得到 角度2：将题意中的用替换 角度3：已知等式中左侧含有： 重点题型二：法： 角度1：已知和的关系 角度2：已知和的关系 重点题型三：累加法 重点题型四：累乘法 重点题型五：构造法 重点题型六：倒数法 重点题型七：隔项等差数列 重点题型八：隔项等比数列 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 知识点一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 知识点二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 知识点三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 知识点四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 知识点五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 知识点六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 知识点七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 第二部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：法： 角度1：用，得到 典型例题 例题1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知正项数列的前项和满足：，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； 例题2．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且． (1)求证：数列是等差数列； 例题3．（2022·吉林白山·一模（文））已知正项数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； 同类题型归类练 1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； 2．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知数列的前n项和为，且. (1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式； 3．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正项数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； 4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； 角度2：将题意中的用替换 典型例题 例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，. (1)求； (2)求数列的通项公式． 例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足 (1)求数列的通项公式； 同类题型归类练 1．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）已知数列的前n项和为，，，则_________. 2．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ； (1)求数列的通