3.1.1 椭圆的标准方程-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆的标准方程 【知识点梳理】 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【题型归纳目录】 题型一：椭圆的