1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 [学习任务] 1．理解空间中直线的方向向量的意义及求法． 2．了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角． 3．了解空间中两条异面直线的公垂线． [对应学生用书第15页] 知识点一　用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 知识点二　直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． 1．如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量． 2．如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． 3．空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定． 4．v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 知识点三　空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ． 如图，则①θ的范围为． ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． 知识点四　异面直线与空间向量 1．异面直线的判定 如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2：则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线间的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． [对应学生用书第16页] 探究一　求直线的方向向量 [例1]　(1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A． B． C． D． [解析]　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量． [答案]　ABD (2)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) [解析]　由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，又＝(1，2，3)，所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量． [答案]　A 对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量． (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 1．已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________． 解析　∵直线l的方向向量v＝(2，1，3)， 且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)， ∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2，1，3)， ∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ， 解得y＝－，z＝． 答案　－　 探究二　利用直线的方向向量解决直线的平行、垂直问题 [例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点．证明： (1)BF∥D1E； (2)BE不与D1M平行； (3)BE⊥C1M． [证明]　如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系． 则B(1，0，0)，D1(0，1，1)，E，F， M，C1(1，1，1)． (1)∵＝，＝， ∴＝－，∴∥，∴BF∥D1E． (2)＝，＝， ∵≠，∴不与平行， ∴直线BE不与直线D1M平行． (3)＝，＝． ∴·＝(－1)×＋0×0＋×(－1) ＝－＝0，∴⊥， ∴BE⊥C1M． 判定直线平行、垂直的向量法 v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量． (1)v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． (2)v1与v2不平行⇔l1与l2不平行． (3)v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2． (4)v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直． 2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2