第一章 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 [学习任务] 1．掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定． 2．通过实例，总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． [对应学生用书第18页] 知识点一　命题的否定 1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与其否定¬p的真假关系． 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然． 知识点二　全称量词命题与存在量词命题的否定 p，q ¬p，¬q 结论 全称量词命题 ∀x∈M，q(x) ∃x∈M，¬q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [思考]　用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ [提示]　不唯一．如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．(　×　) (2)若命题¬p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题．(　√　) (3)“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(　√　) [对应学生用书第19页] 探究一　全称量词命题的否定 [例1]　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. [解]　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形． (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题，可补上全称量词后进行否定． 1．(2022·衡水高一期中)命题“∀x>0，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．∃x>0，x3－x2＋1>0 B．∀x>0，x3－x2＋1>0 C．∃x≤0，x3－x2＋1>0 D．∀x≥0，x3－x2＋1>0 解析　因为命题为全称量词命题，所以其否定为∃x>0，x3－x2＋1>0. 答案　A 2．(2022·滨州高一月考)命题“∀n∈N，n2－1∈Q”的否定为(　　) A．∀n∈N，n2－1∉Q B．∀n∉N，n2－1∈Q C．∃n∈N，n2－1∉Q D．∃n∈N，n2－1∈Q 解析　命题“∀n∈N，n2－1∈Q”的否定为“∃n∈N，n2－1∉Q”． 答案　C 探究二　存在量词命题的否定 [例2]　写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. [解]　(1)所有的四边形都没有外接圆． (2)所有平行四边形都不是菱形． (3)∀x∈R，x2＋1≥0. 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 3．设命题p：∃x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为(　　) A．∀x∉Z，x2<2x＋1 B．∀x∈Z，x2<2x＋1 C．∃x∉Z，x2<2x＋1 D．∃x∈Z，x2<2x 解析　命题p：∃x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为：∀x∈Z，x2<2x＋1. 答案　B 4．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋1＝0，则¬p为(　　) A．∀x∉R，x2－2x＋1≠0 B．∀x∈R，x2－2x＋1≠0 C．∃x∉R，x2－2x＋1≠0 D．∃x∈R，x2－2x＋1≠0 解析　由存在量词命题的否定知p的否定为：∀x∈R，x2－2x＋1≠0. 答案　B 探究三　根据全称量词命题、存在量词命题否定的真假求参数 [例3]　已知命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________． [解析]　方法一：若命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2≥0，即－2a＋1≥0，∴a≤.若命题p是假命题，则a>. 方法二：依题意，命题¬p：∀x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2>0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2<0，即a>. [答案]　 注意p与¬p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 5．已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围． 解　因为¬p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5