1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学习任务] 1．会用空间向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点) 2．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点) [对应学生用书第25页] 知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角 设两条异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos u，v|＝＝． [注意]　不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos u，n|＝＝． [注意]　(1)直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是. (2)若u，n是一个锐角，则θ＝－u，n；若u，n是一个钝角，则θ＝u，n－. 知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角 1．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos n1，n2|＝＝. [注意]　(1)两个平面夹角的范围是，若夹角为，则两个平面垂直． (2)因为两个平面法向量的方向不确定，故n1，n2∈(0，π)，若n1，n2为钝角，应取其补角． [对应学生用书第26页] 探究一　求两条异面直线所成的角 [例1]　(2022·北京高二期末)如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝. (1)求向量BE1，DF1的坐标； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． [解]　(1)由题意可得B(1，1，0)，E1， D(0，0，0)，F1， 故BE1＝，DF1＝. (2)由(1)可知，BE1＝，DF1＝， 所以|BE1|＝ ＝， |DF1|＝ ＝， BE1·DF1＝0×0＋＋1×1＝， 所以cos BE1，DF1＝＝＝， 故BE1与DF1所成角的余弦值为. 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解； (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 1．如图所示，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解　由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0). 在Rt△VCD中，CD＝，当θ＝时，VC＝， ∴V(0，0，)，∴＝(－2，0，0)，＝(1，1，－)， ∴cos 〈，〉＝＝＝－. ∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 探究二　求直线与平面所成的角 [例2]　在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，求EB与平面ABCD夹角的余弦值． [解]　如图，建立空间直角坐标系． 设PD＝DC＝1， 由ABCD是正方形，PE＝EC， 得P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， 则E， 所以＝， 且||＝. 又因为平面ABCD的法向量为＝(0，0，1)， 设EB与平面ABCD的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 所以cos θ＝， 即EB与平面ABCD夹角的余弦值为. 求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)； 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量n； ④计算：设线面角为θ，则sin θ＝. 2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值． 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)， C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)， ∴BC1＝(－1，0，1)，A1D＝(－1，0，－1)， ＝(－1，－1，0). 设平