1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线和平面． 2．理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点) 3．会求直线的方向向量与平面的法向量．(重点、难点) [对应学生用书第16页] 知识点　空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示式 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta＝＋t． 2．空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y． 3．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为{P|a·＝0}． [对应学生用书第16页] 探究一　求直线的方向向量 [例1]　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0　　 B．1　　 C．　　 D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． [解析]　(1)∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)， ∴＝(－1，2－y，z－3). ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km. ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝. ∴y－z＝0. (2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1). ∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). [答案]　(1)A　(2)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 1．(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) (2)从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C． D． 解析　(1)∵M，N在直线l上，且＝(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． (2)设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ＞0)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34， 即＝34，得λ＝2， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 答案　(1)AB　(2)A 探究二　求平面的法向量 [例2]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． [解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则D(0, ，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0). 设n＝(x，y，z)是平面ACE的法向量， 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). (变问法)本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 解　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)，即为直线PC的一个方向向量． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1). 由得所以 令y＝1，则z＝. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，). 利用待定系数法求平面的法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2). (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1是平面PAC的一个法向量． 证明　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 不妨设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)， B1(2，2，2)，O(1，1，0)， 所以OB1＝(1，1，2)，＝(－2，2，0)