1.2 空间向量基本定理（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

　　 [学习任务] 1．类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理．(重点) 2．能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题．(重点、难点) [对应学生用书第7页] 知识点　空间向量基本定理 1．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解 (1)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． (2)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． [对应学生用书第8页] 探究一　基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解． 即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 1．(多选)已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b能构成空间基底的向量的是(　　) A． B． C． D．或 解析　因为＝(a－b)＝(＋＋)－(＋－)，即与a，b共面，所以与a，b不能构成空间基底． 答案　ABD 探究二　利用基底表示向量 [例2]　如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. [解]　＝＋ ＝＋(＋)＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋＋＝(a＋b＋c). 连接A′N(图略). ＝＋＝＋(＋) ＝＋(＋)＝a＋b＋c. (变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 所以＝(＋)＝a＋b. ＝(＋)＝(＋＋) ＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋－＝b＋a－c. 用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 2．四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，. 解　连接BO，则＝＝(＋)＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋) ＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋) ＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 探究三　空间向量基本定理的应用 [例3]　如图，已知在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． [解]　(1)证明　设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底． 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. 所以＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A′D. (2)因为＝－a＋c， 所以||＝|a|，由(1)得||＝|a|， 所以·＝(－a＋c)· ＝c2＝|a|2， 所以cos ，＝＝. 所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 将几何问题转化为向量问题的求解策略 (1)将距离和线段长转化为求向量的模； (2)将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题； (3)将空间角问题转化为向量夹角问题． 3．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，AA1＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解　(