1.1.1 空间向量及其线性运算（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．1.1　空间向量及其线性运算 [学习任务] 1．理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用．(重点、难点) [对应学生用书第1页] 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法 4．几个特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或 ||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 (或平行 向量) 表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量(另：0与任意向量共线) a∥b 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 知识点二　空间向量的线性运算 空间向 量的线 性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三　空间向量的共线和共面 1．共面向量 平行于同一个平面的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 3.直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． [对应学生用书第2页] 探究一　空间向量的概念辨析 [例1]　给出下列命题： ①|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； ②向量a，b相等的充要条件是 ③若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 其中正确的是________．(填序号) [解析]　a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故①正确． 由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故②错误． ∵＝，∴||＝||且∥. 又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形． 反之，在平行四边形ABCD中，有＝，故③正确． [答案]　①③ 空间向量的概念问题 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 1．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为(　　) A．4　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析　零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误．根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误．命题④显然正确．对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 答案　D 探究二　空间向量的线性运算 [例2]　已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式， 并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－). [解]　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)－＋＝－(－)＝－＝. (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋. 设M是线段CB′的中点，则＋＋(－)＝＋＝. 向量，，如图所示． (变问法)若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)＋＋. 解　(1)＋＋＝－＋ ＝＋， 设P是线段CC′的中点， 则＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋(＋)＝＋， 设Q是线段A′C′的中点， 则＋＋＝＋＝＋＝.向量， 如图所示． 利用线性运算进行向量化简的技巧 (1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量用已知向量表示； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式． [注意]　(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量； (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量． 2．