第一章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习任务] 1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点) [对应学生用书第20页] 知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．命题的否定 一般地，对一个命题p进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记作¬p. 2．命题¬p的真假判断 因为命题p与命题¬p互为否定，所以它们的真假一定不同．其真假情况如下： (1)若p真，则¬p假； (2)若p假，则¬p真． 命题p与命题¬p的真假情况可以简单归纳为“不可同真同假”．即命题p和命题¬p不能同真同假，只能是一真一假． 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 [对应学生用书第20页] 探究一　全称量词命题的否定 [例1]　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. [解]　(1)该命题的否定是存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)该命题的否定是∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)该命题的否定是∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0. 1．写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，都有x2－2x＋1≥0. 解　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，使得x2－2x＋1＜0. 探究二　存在量词命题的否定 [例2]　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，x＋y＝3. [解]　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 2．命题“∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0”的否定是(　　) A．∃x0∉R，x＋2x0＋2≤0 B．∃x0∈R，x＋2x0＋2＞0 C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0 解析　把存在量词改为全称量词，同时把“≤”改为“＞”． 答案　D 探究三　根据全称量词命题、存在量词命题的 否定求参数 [例3]　已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围． [解]　因为¬p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，m＋x2－2x＋5＞0可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}． 3．已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5＞0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围． 解　因为¬p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5＞0为真命题，m－x2＋2x－5＞0可化为m＞x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m＞(x－1)2＋4成立，只需m＞4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞4}．(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ＞0进行解题) 学科网（北京）股份有限公司 $