第11讲 椭圆（6大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）

第11讲 椭圆（6大考点） ( 考点 考向 ) 一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. ( 考点 精讲 ) 考点一：椭圆的定义及其应用 一、多选题 1．（2022·杭州求是高级中学高二期末）若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为0可判断B；直接化简可判断D. 【详解】由椭圆定义可知，A正确；由椭圆第二定义可知C正确；B中显然，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，故B错误；由两边平方可得，整理得，即，故D正确. 故选：ACD 2.（2021·宁夏银川市·银川二中高一期末）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案 【详解】解：设的坐标为，的坐标为， 因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且， 所以， 因为在圆上， 所以，化简得， 故答案为： 二、解答题 3．（2022·全国·高二课时练习）P为椭圆上任意一点，、为左、右焦点，判断以为直径的圆与以O为圆心a为半径的圆的位置关系并说明理由． 【答案】内切，理由见解析 【分析】作出辅助线，利用椭圆定义及中位线定理得到两圆的圆心距等于两圆半径的差，所以证明出两圆内切. 【详解】如图，连接、，其中为线段的中点． 根据中位线定理，又， 因此， 即⊙O、的圆心距等于两圆半径的差， 因此⊙O、内切． 4．（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【答案】 【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标． 【详解】解：由已知，，，， ，而， 所以，， 因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上， 因此，解得， 所以点P的坐标为． 5．（2022·全国·高二课时练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】 【分析】由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆，然后可求得其方程． 【详解】设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得，， ，半径，，半径， 当⊙M与外切时，有，① 当⊙M与内切时，有，② 将①②两式的两边分别相加，得，由椭圆的定义知，M的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，则有a＝6，c＝3，．从而所求椭圆方程为． 6．（2022·陕