2.4.1圆的标准方程-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 2.4.1 圆的标准方程 复习引入 l 思考1：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ l 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素. 新知探索 我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合 . 新知探索 根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件 可以表示为，两边平方，得 .(1) 由上述方程可知，若点在上，点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.这时，我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 新知探索 答案：×，×，×. 辨析1.判断正误. (1)方程一定表示圆.( ) (2)圆的圆心坐标是，半径是.( ) (3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是.( ) 答案：C. 辨析2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ). A. B. C. D. 例析 例1.求圆心为，半径为的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 解：圆心为，半径为的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程 的左边，得，左右两边相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程 的左边，得，左右两边不相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 新知探索 问题1.点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？若圆的标准方程为呢？ 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 例析 例2.的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程. 解：设所求的方程是① 因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组