专题08 直线与圆综合大题归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学上学期热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题8 直线与圆综合大题归类 目录 【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆 1 【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线 3 【题型三】直线与圆：韦达定理型 5 【题型四】直线与圆：定点 7 【题型五】直线与圆：定值 9 【题型六】直线与圆：定直线 11 【题型七】探索性、存在性题型 12 【题型八】面积与最值 14 【题型九】直线与圆的应用题 16 【题型十】 19 【题型十一】 19 培优第一阶——基础过关练 20 培优第二阶——能力提升练 26 培优第三阶——培优拔尖练 31 【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆 【典例分析】 （2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程. 【详解】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即 故选：A. 【提分秘籍】 基本规律 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。 ②定义法：根据圆定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程． ④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【变式训练】 1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，作线段，先求得，求得 的最小值，再由可得答案. 【详解】设圆的半径为，直线与 垂直， 又过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆， 设圆心为，半径为，作垂直线段，则，， 的最小值为.故选：B 2.（2017·北京海淀·高二期中）若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【详解】由直线方程可知两直线斜率相等，所以， 由平行线的几何性质知的轨迹为平行于且与等距离的直线， 故直线方程为， 又点在圆上及圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段，如图， 即原点和距离的平方．由图可知，，，， 故答案为：． 3.（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，，则面积的最大值为______. 【答案】 【解析】由，可得，在圆中可得，从而有，即可求出点的轨迹，然后就可得出面积的最大值. 【详解】因为，所以，且是的中点所以 因为所以，即 设点，则有化简得： 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆。因为，且直线经过点 所以点到直线的距离的最大值就为半径。所以面积的最大值为 故答案为： 【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线 【典例分析】 .（2022·全国·高二课时练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解. 【详解】过点且与直线垂直的直线为：， 已知点在该直线上，所以，即， 所以点的轨迹方程为，又圆：， 所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为： .故A，B，D错误. 故选：A. 【提分秘籍】 基本规律 非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法： ①定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程； ②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程； ③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程； ④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程. 【变式训练】 1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，，（分别为切点），若，则的最小值是 A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】P的轨迹为线段的中垂线：， 由，得到的最小值是点到直线的距离的平方，由此能求出结果． 【详解】∵圆与圆， ∴，， ∵过动点分别作圆、圆的切线，，（，分别为切点），， ∴P的轨迹为线段的中垂线，线段的中点坐标为， 线段的斜率，的中垂线所在直线的斜率为， ∴P的轨迹方程为，即， ∵表示点与距离的平方， ∴的最小值是点到直线的距离的平方， ∴的最小值为：． 故选：D． 2.（2020·全国·高二）已知圆：与圆：，过动点分别作