专题07 圆切线与圆最值归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学上学期热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题7 圆切线与圆最值归类 目录 【题型一】圆最值1：圆上动点与圆心 1 【题型二】圆最值2：直线动点与圆 3 【题型三】圆最值3：阿波罗尼斯圆 5 【题型四】圆最值:4：将军饮马型 8 【题型五】圆最值5：定角范围 10 【题型六】圆最值6：最短距离 13 【题型七】切线1:入射与反射光线 15 【题型八】切线2：切点弦方程 17 【题型九】切线3：切点弦过定点 19 【题型十】切线4：切线长最值范围 21 【题型十一】切线5：切线三角形与四边形面积最值 23 【题型十二】切线6：切点弦长最值 25 【题型十三】切线7：向量范围 28 【题型十四】切线转化综合 30 培优第一阶——基础过关练 33 培优第二阶——能力提升练 39 培优第三阶——培优拔尖练 45 【题型一】圆最值1：圆上动点与圆心 【典例分析】 （2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，， ．点关于轴的对称点为， ，所以，， 故选：B． 【提分秘籍】 基本规律 一般情况下，圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决。 解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用 【变式训练】 1.（2022·全国·高二课时练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得 ，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值． 【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．， 可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为， 由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴， ∴， 当且仅当，且，即时等号成立．故选A． 2.（2022·全国·高二专题练习）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可. 【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)， 所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围， 又圆心到的距离，圆的半径为2， 所以的取值范围为，即. 故选：C 3.（2021·福建·福州三中高二期中）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B 【分析】根据题意，可知当为线段与圆的交点时，可求出取得最小值，可判断A选项；当与圆相切时，最大，此时与重合，可求出的面积，即可判断B选项；由于，当最大时，也最大，可知当，，三点共线，且在，之间时，求出的最大值，即可判断C选项；当为射线与圆的交点时，求得取得最大值，即可判断D选项. 【详解】解：如图，当为线段与圆的交点时，即时， 此时取得最小值为，故A正确； 由题可知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合， 此时，故B错误； 因为点在圆上，为圆心，则， 所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：B. 【题型二】圆最值2：直线动点与圆 【典例分析】 （2022·江苏·高邮市第一中学高二期末）已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值， 再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解. 【详解】由圆：，得圆，半径为， 所以， 所以点到圆上点的最小距离为.故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 一般情况下，直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离。 【变式训练】 1.（2022·广东深圳·高二阶段练习）已知点是圆上的动点，直线与轴､轴分别交于两点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心、半径，根据直线与圆的位置可知，当最小时，与圆相切，最后用勾股定理求即可 【详解】圆化成标准形式为，故圆心为，半径为2，直线与坐标轴交于点，点，如下图所示： 则当最小时，与圆相切，连接，可知， 由勾股定理可得，故选：A 2.（2022·河南·高二开学考试（文））若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（    ） A． B． C．1 D．－1 【答案】C 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，