专题4.2 一次函数与几何图形综合问题（七大题型）-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题4.2 一次函数与几何图形综合问题（七大题型） 一次函数与几何的综合题，共分为七大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。 题型1.一次函数与等腰三角形 方法：两圆一线 例：点在轴上，使为等腰三角形。 第一步：画图： 第二步：分情况求解：标等边，用公式： ①当时， ②当时， ①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线： ② ∴ ②∴ ∴ ③当时， ①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设 ③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点 例1．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P 在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4； （2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°， 由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS）， ∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8； ②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4， ∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8； （3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）； ②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°， ∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°， ∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）； ③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合， ∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°， ∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）； ④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）； 综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）． 变式1．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标　　． 解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有： ①当PE＝OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）； ②当OP＝PE时，∠OPE＝90°，则F点就是（0，0）； ③当OP＝OE时，则OF＝6±3，F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）． 变式2．（2022•广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标． 解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3）， 把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b