专题4.1 一次函数应用题（三大题型）-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题4.1 一次函数应用题（三大题型） 一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。 题型1. 行程类问题 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 例1．（2022·安徽八年级期中）如图，A，B两地相距240km，甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地，乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y（km）与乙所用时间x（h）的关系如图，结合图象回答，当两人之间相距120km时，x＝____________． 【答案】0.5或2或3.5． 【分析】根据甲骑摩托车的速度及时间求出乙行驶的时间，由此得到乙每段行驶的函数解析式，再分段列方程求解． 【详解】解：由题意和图象可得，甲骑摩托车的速度是：40÷1＝40（km/h），甲到达B地用的时间为：240÷40＝6（h），乙从B地到A地用的时间为：（6﹣1﹣1）÷2＝2h， 当0≤x≤2时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax，240＝2a，得a＝120， 即当0≤x≤2时，乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝120x， 当2＜x≤3时，y′＝240， 当3＜x≤5时，设乙的行驶路程y′与时间x的函数关系式是y′＝ax+b， ，解得， 即当3＜x≤5时，乙的行驶路程y与时间x的函数关系式是y′＝﹣120x+600； 设甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝mx+n，，解得， 即甲的行驶路程y与时间x的函数关系式是y＝40x+40， 当0≤x≤2时，甲乙相遇前，令（40x+40）+120x＝240﹣120，得x＝0.5， 甲乙相遇后，令120x+（40x+40）＝240+120，解得，x＝2， 当3＜x≤5时，令40+3×40+40（x﹣3）＝120（x﹣3）+120，解得，x＝3.5， 由上可得，x为0.5或2或3.5时，两人之间相距120km．故答案为：0.5或2或3.5． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的实际应用，解题中分类思想的应用，正确理解题意是解题的关键． 变式1．（2022·广西横县·八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程（千米）随时间（分）变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇． 【答案】 【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第二次在BC段，根据条件首先求出AB解析式，即得出相遇时间． 【详解】解：（1）当15≤x≤33时，设yAB＝kx＋b， ∵点（15，5）（33，7）在此直线上，∴，解得， ∴y＝x＋，当y＝6时，x＋＝6 x＝24，即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24． 【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式． 变式2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；②根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值； ③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答； ④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确； 120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确； 设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得： ，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7）， 当y＝260时，260＝40x﹣20，解得：x＝7，∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论错误； 当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣2