培优专题05 细究整式的的规律探究题-【核心考点突破】2022-2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题05 细究整式的的规律探究题 【专题精讲】 专题精讲 近年来与整式相关的中考题,改变了以往单一的整式计算,出现了整式的规律探究题,这类题新颖别致,主要考查数感对于图形的理解以及观察问题和解决问题的能力.对给出的式或图认真观察、大胆猜想、反复验证,找到其中内在的规律,是解决此类问题的关键。 一、探究常见类型 (1)单项式的系数及次数变化类; (2)多项式的项及次数变化类; (3)数字变化规律类; (4)图形变化规律类. 二、数式常见规律 一般地,用n表示正整数,从1开始,偶数用2n表示,奇数用2m-1或2m+1表示 ①正方形数:1,4,9,16,…,n²; ②三角形数:1,3,6,10， ③连续奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)＝n² ④连续偶数和:2+4+6+…+2n＝n(n+1) ⑤连续整数的平方和:1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1); ⑥连续整数的立方和:1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)² ◎类型一：单项式的系数及次数变化类 1．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：3，，，，，…，第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数， 单项式中a的指数偶数，b的指数不变， 所以第8个单项式是：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）观察下面一列数：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-6x6，……，根据你发现的规律，第n个数是（    ） A．nxn B．-nxn C． D． 【答案】D 【分析】通过观察可以发现：各单项式的系数的绝对值是连续的正整数，且奇数是正数，偶数为负数，字母指数与该项序号相同，即可解答． 【详解】通过观察可以发现第n个数是， 故选D． 【点睛】本题考查单项式的变化规律．观察得出各单项式的系数和次数的变化规律是解题关键． 3．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式 【详解】解：，，，，，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 4．（2022·辽宁大连·七年级期末）按一定规律排列的单项式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-7x6，…第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值是从2开始的连续整数，次数是连续整数，由此可解出本题． 【详解】解：第1个单项式是2x=（-1）1+1（1+1）x1， 第2个单项式是-3x2=（-1）2+1（1+2）x2， 第3个单项式是4x3=（-1）3+1（1+3）x3， •••， 第n个单项式是（-1）n+1（n+1）xn． 故选：D． 【点睛】本题考查单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． ◎类型二：多项式的项及次数变化类 5．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）一组按规律排列的多项式：，，，，……，其中第10个式子的次数是（   ） A．10 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】通过已知多项式找出规律，判定出第10个多项式，然后根据多项式次数的定义即可得出结论． 【详解】解：第1个多项式为：=； 第2个多项式为=； 第3个多项式为=； 第4个多项式为=； 故第10个式子为，其次数为19 故选C． 【点睛】此题考查的是探索规律题和求多项式的次数，找出多项式指数的变化规律和掌握多项式次数的定义是解决此题的关键． 6．（2022·广东深圳·七年级期末）多项式按规律排列：ab2，a2b3，a3b4……．则第100个多项式的次数是_________． 【答案】101 【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号是正号，第二项中b的次数是序号加1，据此写出100个多项式即可． 【详解】解：一组按规律排列的多项式：a+b，a2+b3，a3+b4，a4+b5… 每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号是正号，第二项中b的次数是序号加1，其中第100个式子是a100+b101；次数为101 故答案为：101． 【点睛】本题考查了