专题11 解直角三角形模型（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专项突破11 解直角三角形模型 【思维导图】 ◎突破一 背靠背型 例．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，，         在中，，    ， 解得，．                   答：宝塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 专训1．（2021·上海杨浦·一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽约为33.6米 【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度． 【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米， ∵ ∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°， ∴CD=AD=x， ∵∠B=64°， ∴BD=， ∵BC=50 米，∴， 解之得：x≈33.6， 答：河宽约33.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键． 专训2．（2021·四川攀枝花·九年级期末）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32º，底部C的俯角为45º，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度大约为多少米？（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】50． 【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan32°=31×0.6=18.6，在Rt△ACD中，求得BC=BD+CD=18.6+31=49.6m．结论可求． 【详解】解：在Rt△ABD中， ∵AD=31,∠BAD=32°， ∴BD=AD⋅tan32°=31×0.6=18.6， 在Rt△ACD中， ∵∠DAC=45°， ∴CD=AD=31， ∴BC=BD+CD=18.6+31≈50m． 答：楼BC的高度大约为50米． 【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 专训3．（2021·全国·九年级专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表． 名称 红外线体温检测仪 安装示意图 技术参数 探测最大角：∠OBC=73.14° 探测最小角：∠OAC=30.97° 安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上 根据以上内容，解决问题： 学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC． （结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600） 【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m． 【分析】根据题意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可． 【详解】根据题意可知： OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m， ∴AC=AB+BC=4+BC， ∴在Rt△OBC中，BC=， 在Rt△OAC中，OC=AC•tan∠OAC≈(4+BC)×0.6， ∴OC=0.6(4+)， 解得OC≈2.9（m）． 答：该设备的安装高度OC约为2.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC的方程是解题的关键． ◎突破二 子母型 例．（2021·安徽马鞍山·三模）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，