专题10 解直角三角形及其应用（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题10 解直角三角形及其应用 【思维导图】 ◎考点题型1 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= = 4. cos A= = 5. tan A= = 例．（2022·广东深圳·二模）如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可． 【详解】解：连接AC， ∵AB是⊙的直径， ∴∠ACB=90°， ∵sinB=，cosB=，tanB=， ∴AC=AB•sinB，BC=AB•cosB，AC=BC•tanB， 观察四个选项，选项B正确， 故选；B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（       ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵BP⊥AP， ∴∠APB＝90°， 在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α， ∴PA＝PB•tanα＝mtanα（米）， ∴小河宽度PA为mtanα米， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴cosa=，∴AC=4cosa米， 故选： A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦三角函数的概念是解题关键． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 5 ， AC 4 ．下列四个选项，正确的是（       ） A．tan B B．cot B C．sin B D．cos B 【答案】C 【分析】由勾股定理求得BC的长，进而可求得相应的三角函数值，进而判断各个选项的正误得到答案． 【详解】解：如图： ∵C 90 ， AB 5 ， AC 4 ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． ◎考点题型2 解非直角三角形 例．（2021·全国·九年级课时练习）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（       ） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案． 【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点， 根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=3km， 在Rt△CBD中， CD=BC×sin60°=3×=(km)， 故选择：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值． 变式1．（2022·广西河池·二模）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取结果保留一位小数，则A，B间的距离为（） A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里 【答案】C 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意可知： ∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60， ∴在Rt△BCD中，C