专题08 相似三角形模型（专项突破）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专项突破08 相似三角形模型 【思维导图】 ◎突破一 A字模型 例．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或 【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得； （2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN； （3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得． 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴, ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在， ∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由得，， ∴， ∴y＝ ＝ ＝； 如图3， 当3＜x＜4.5时， 由得， ∴CN＝， ∴y＝ ＝； （3）如图4， ∵， ∴， ∴CG＝CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5， ∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x=， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt△BMH中，BH＝，cos∠MBH＝cos∠BEG＝， ∴BM＝， ∴9﹣2x＝， ∴x＝， 综上所述：x＝2或或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键． 专训．（2021·全国·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB ∴ ∴，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． ◎突破二 8字模型 例．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而