专题07 位似（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题07 位似 【思维导图】 ◎考点题型1 位似图形 如图，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比. 注意： ①位似图形是相似图形的特例；  ②位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；  ③位似图形的对应边互相平行或共线. 性质： 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.   1.位似图形对应线段的比等于相似比； 2.位似图形也是相似图形. 3.位似图形对应点连线的交点是位似中心. 4.位似图形对应边互相平行或在同一直线上. 例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意； △ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将△ABC的三边缩小到原来的， ∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（       ） A．// B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 【详解】以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到， ∴和是位似图形， ∴~，故C正确； ∴， 又 ~ ∴ ∴//故A正确； ∵把的各边放大为原来的2倍得到， ∴ ∴，故B选线说法错误； ∵，故D正确； ∴说法错误的是：B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键． 变式2．（2023·河北·九年级专题练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点到点和点的距离之比（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质判断即可； 【详解】解：∵△ABO∽△A′B′O′， ∴BO∶B′O′=3∶6=1∶2， 即两三角形的相似比为1∶2， ∴点到点和点的距离之比为1∶2， 故选： A． 【点睛】本题考查了位似的性质：位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质；掌握位似的性质是解题关键． 变式3．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，若△AOB的面积为4，则△OEF的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积． 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE， ∴． ∵∠AOB=∠FOE， ∴． ∴△AOB和△FOE的相似比是2． ∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4． ∵△AOB的面积是4． ∴△FOE的面积是1． 故选：C． 【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． ◎考点题型2 判断位似中心 例．（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐标即可． 【详解】作图如下： 延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)． 故选：B． 【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键． 变式1．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC