必考点02 与三角形有关的角-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题（人教版）

必考点02 与三角形有关的角 ●题型一 利用三角形的外角的性质求角 【例题1】（2022春•南岗区校级期末）如图，若∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFB等于（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵∠AFB＝∠FEB+∠B，∠FEB＝∠A+∠C， ∴∠AFB＝∠A+∠B+∠C＝115°， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【例题2】（2022春•曲阳县期末）如图所示，下列结论正确的是（　　） A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B 【分析】根据三角形的外角的性质即可判断． 【解答】解：如图， 在△AEF中，∠1＞∠2， 在△BCE中，∠2＞∠B， ∴∠1＞∠2＞∠B． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的外角的性质、解题的关键是灵活运用三角形的外角大于任何一个不相邻的内角解决问题． 【例题3】（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论． 【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【解题技巧提炼】 三角形的外角性质 1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2、三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． ●题型二 直角三角形的性质与判定的运用 【例题4】（2022春•偃师市期末）在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【分析】先根据∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可得出∠C的度数，进而得出结论． 【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 【例题5】（2021秋•焦作期末）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°， ∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【例题6】（2021秋•吐鲁番市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD与CE相交于点P，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，求∠ADC和∠APC的度数． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD∠BAC＝33°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出∠ADC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠APC＝∠ADC+∠BCE． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝66°， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝33°， ∵CE是△ABC的高， ∴∠BEC＝90°， ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝33°+50°＝83°； ∠APC＝∠ADC+∠BCE ＝83°+40° ＝123°． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相