第12讲 特殊三角形重难点题目训练 -【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第12讲 特殊三角形重难点题目训练 一．选择题（共11小题） 1．（等腰直角三角形“手拉手”模型）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论： ①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确， ∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确， ∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确， ∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确， 故选：A． 2．（共斜边的直角三角形＋勾股定理）如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　） A．2 B． C．8 D．9 【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF＝BC＝9，得到FE＝FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接EF、DF， ∵BD⊥AC，F为BC的中点， ∴DF＝BC＝9， 同理，EF＝BC＝9， ∴FE＝FD，又G为DE的中点， ∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5， 由勾股定理得，FG＝＝2， 故选：A． 3．（直角三角形勾股定理与面积）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论． 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 4．（轴对称与勾股定理综合）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　） A．3 B．5 C． D．6 【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接DE，如图所示， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵AD＝AC＝6，AF⊥CD， ∴DF＝CF， ∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4， 在△ADE和△ACE中， ， ∴△ADE≌△ACE（SSS）， ∴∠ADE＝∠ACE＝90°， ∴∠BDE＝90°， 设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3； ∴CE＝3； ∴BE＝8﹣3＝5． 故选：B． 5．（勾股定理＋中点）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB＝90°，BE＝5，AD＝，则AB的长为（　　） A．10 B．4 C． D．8 【分析】设EC＝x，DC＝y，则直角△BCE中，x2+4y2＝BE2＝25，在直角△ADC中，4x2+y2＝AD2＝55，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，根据勾股定理求得AB． 【解答】解：设EC＝x，DC＝y，∠ACB＝90°， ∴在直角△BCE中，CE2+BC2＝x2+4y2＝BE2＝25． 在直角△ADC中，AC2+CD2＝4x2+y2＝AD2＝55， 解得x＝，y＝． 在直角△ABC中，AB＝＝＝8． 故选：D． 6．（勾股定理与面积规律）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°