专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型-【常考压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型 考点一 四边形中构造全等三角形解题 考点二 一线三等角模型 考点三 三垂直模型 考点四 倍长中线模型 典型例题 考点一 四边形中构造全等三角形解题 【例题】（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A． 【变式训练】 1．（2020·河南洛阳·八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF． 2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF． (1)求证：CE＝CF； (2)若G在AB上且∠ECG＝60°，试猜想DE，EG，BG之间的数量关系，并证明． 考点二 一线三等角模型 【例题】（2021·湖北·黄石八中八年级阶段练习）如图，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之间的数量关系． 【变式训练】 1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． (1)如图1，求证：BD＝CE； (2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 2．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF； （2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.   3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． （2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 4．（2022·陕西·西安市第三中学七年级阶段练习）（1）如图1，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．请写出图中全等的一对三角形是______． （2）如图2，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE、BD、CE有何数量关系？给予证明． （3）某学校学生小明在科技创新大赛上，创作了一幅机器人图案，大致图形如图3，以△ABC的边AB、AC为腰向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是BC边上的高，延长GA交DE于点H，经测量，DE＝50cm，求HE的长． 考点三 三垂直模型 【例题】（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D． （1）求证：△BCE ≌△CAD； （2）若AD =12， BE =5，求ED的长． 【变式训练】 1．（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：CF＝EF+BE． 2．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E． (1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝　 　； (2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明； (3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 3．（2021·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝