3.3 第1课时 指数函数的概念、图象和性质（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（北师大版）

§3　指数函数 第1课时　指数函数的概念、图象和性质 　 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”——《庄子·天下篇》。 【问题】　写出天数x与长度y之间的关系式。 提示：y＝x，x∈N*。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.理解指数函数的概念。 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．指数函数的概念 当给定正数a，且a≠1时，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数。 2．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (4)当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 (4)当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 (5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 (5)在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 3.不同底数的指数函数图象和性质比较 (1)对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)； ①当x<0时，0<ax<bx<1； ②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x>0时，ax>bx>1。 (2)对于函数y＝ax和y＝bx(0<a<b<1)。 ①当x<0时，ax>bx>1； ②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x>0时，0<ax<bx<1。 (3)一般地，指数函数y＝ax和y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反。 　 微思考 1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义。 ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义。 ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值。 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1。 2．为什么指数函数的图象一定过点(0,1)? 提示：当a>0，且a≠1时，a0＝1。 3．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的高低与a的取值有何关系？ 提示：指数函数y＝ax的图象如图所示，在第一象限内，底数a自上向下依次递减。 如图中底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1。 在第一象限的图象可简记为“底大图高”。 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴的上方。(√) 解析　由指数函数的性质可知正确。 (2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1。(√) 解析　由指数函数的单调性可知正确。 (3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x。(×) 解析　由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x<0时，3x<2x。 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　函数y＝2－x＝x。故选B。 答案　B 3．若0<a<1时，则函数f (x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 解析　当0<a<1时，由于函数y＝ax经过第一、二象限，函数f (x)＝ax＋6的图象可由y＝ax的图象向上平移6个单位得到，故函数f (x)＝ax＋6的图象一定过第一、第二象限。 答案　A 4．函数y＝的定义域是________。 解析　由2x－1≥0得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)。 答案　[0，＋∞) 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 指数函数的概念 【例1】　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0且a≠1 解析　依题意解得a＝－1。 答案　C (2)指数函数f (x)过点，则f (－1)＝________。 解析　f (x)＝ax(a>0且a≠1)，则a＝3，解得a＝3，所以f (x)＝3x，所以f (－1)＝3－1＝。 答案　 (1)在指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x在指数的位置上，且指数只能是自变量x，底数必须是大于0且不等于1的实数。 (2)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法。 【变式训练】　下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－2x； (4)y＝5x－1；(5)y＝(－10)x。 解　(1)满足指数函数的定义，是指数函数。 (2)x位于底数位置，因而不