1.3.1 不等式的性质（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（北师大版）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 　 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象。 【问题】　你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为<，其中a<b，c>0。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系。 2．初步学会作差法比较两个实数的大小。 3．掌握不等式的基本性质。 4．运用不等式的性质解决有关问题。 1.观察现实世界和日常生活中的不等关系，加深对不等式的理解。 2．体会比较大小的常见方法——作差法的方法和步骤。 3．在学习和使用不等式性质时，要注意其使用条件。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b，反过来也成立。 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 微提醒 上面基本事实指出了比较大小的常用方法：作差法。 2．不等式的性质 性质1　如果a>b，且b>c，那么a>c。 性质2　如果a>b，那么a＋c>b＋c。 性质3　(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc。 性质4　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d。 性质5　(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2。 性质6　当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2。 微提醒 在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 微思考 1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是。a，b是任意实数。 2．不等式的性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？ 提示：不对，要看两边乘以的数的符号。 3．如何利用性质5的(1)证明性质(5)的(2)? 提示：由c<d<0，得－c>－d>0，又a>b>0，由性质5中的(1)可得，－ac>－bd，又由性质3得，ac<bd。 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种。(√) 解析　任意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种，没有其他大小关系。 (2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确。(√) (3)若a>b，则ac2>bc2一定成立。(×) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d。(×) 2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析　因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a；因为b<0，所以－b>b，所以a>－b>b>－a。故选C。 答案　C 3．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为_______。 解析　x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)。当x<1时，x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x。 答案　x2＋2>3x 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 实数(式)的比较大小　　 【例1】　比较下列各式的大小： (1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小。 解　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)。 因为x≤1，所以x－1≤0， 而3x2＋1>0。 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1。 (2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号。 【互动探究】　例1(1)中，若把条件“x≤1”去掉，试比较所给两式的大小。 解　显然3x2＋1>0，所以当x<1时，(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x>1时，(3x2＋1)·(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1。 作差法比较大小的步骤 【变式训练】　已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，试比较P，Q的大小。 解　因为P－Q