1.2.1 第2课时 充要条件（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（北师大版）

第2课时　充要条件 　 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了。”主人听了，随口说了句：“该来的没有来。”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了。主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。 【问题】　请你用逻辑学原理解释二人离去的原因。 提示：张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的。李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 充要条件的判断与证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q。 p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”。 当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。 微思考 1．符号“⇔”的含义是什么？ 提示：“⇔”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”。 2．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题。这种说法对吗？ 提示：正确。若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确。 3．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论。(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论。 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当仅且当p成立。(√) 解析　当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确。 (2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件。(√) 解析　若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确。 (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件。(√) 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件。 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 解析　第二象限点的横坐标为负数，纵坐标为正数。 答案　B 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则A⊆B的充要条件是________。 解析　当a＝2时，A⊆B；当a＝3时，A⊆B。 答案　a＝2或a＝3 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 充要条件的判断　　 【例1】　在下列各题中，试判断p是q的什么条件。 (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数；q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA。 解　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件。 (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件。 (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件。 (4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒⊇，并且⊆⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件。 (1)判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件。 (2)在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集。 【变式训练】　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 解析　a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0。 答案　D (2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________。 解析　A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}。若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；若A≠∅，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9。 综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9。 答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 类型二 充要条件的证明