1.2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 　 我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话： (1)“有之则必然，无之则未必然”； (2)“无之则必不然，有之则未必然”。 【问题】　请你分析它们分别是对什么问题进行描述的？ 提示：(1)充分条件；(2)必要条件。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 2．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 1.创设问题情境，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容。 2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．推出符号“⇒”的含义 当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q。 2．充分条件与必要条件 一般地，当命题“若p，则q ”是真命题时，称q是p的必要条件，p是q的充分条件。 微思考 1．p是q的充分条件，是指由条件p可以推出q，那么q成立的充分条件p是不是唯一的？ 提示：不是，q成立的条件p可能有多种。 2．q是p的必要条件，是指由p可以推出q，那么条件p是不是只能推出q? 提示：不是，由p也可能推出其他的结论。 3．充分条件、必要条件与判定定理和性质定理有什么关系？ 提示：数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 　 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件。(×) 解析　因为“x2＝9”D“x＝3”。 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件。(×) 解析　因为“x>0”D“x>1”。 2．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 答案　A 3．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件？(　　) A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0 C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0 解析　xy≠0，则x≠0且y≠0，所以x2＋y2>0，所以x2＋y2>0是xy≠0的必要条件。 答案　B 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 必要条件的判断　　 【例1】　给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc。 试分别指出p是q的什么条件。 解　(1)因为两个三角形相似D两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要条件但不是充分条件。 (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以。即p是q的充分条件但不是必要条件。 (3)因为p⇒q且q⇒p， 所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件。 (4)因为pDq，且qDp， 所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题。要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p。 【变式训练】　指出下列哪些命题中p是q的必要条件？ (1)在△ABC中，p：AC>AB，q：∠B>∠C； (2)已知x，y∈R，p：(x－1)(x－2)＝0，q：x＝1。 解　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的必要条件。 (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的必要条件。 故(1)(2)命题中p是q的必要条件。 类型二 充分条件的判断　　 【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0。 解　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件。 (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 因此pDq，所以p不是q的充分条件。 (3)由x>1可以推出x2>1。因此p⇒q， 所以p是q的充分条件。 (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此pDq，所以p不是q的充分条件。 (5)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC。因此p⇒q，所以p是q的充分条件。