2014-2015《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习【5年高考真题备考题库】第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入（4份）

2009~2013年高考真题备选题库 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1节 平面向量的概念及其线性运算 考点 平面向量的概念与线性运算 1．（2013广东，5分）设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题： ①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c； ②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μ c； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜|a|sina，b(时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错． 答案：B 2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________. 解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力． 选向量的基底为 ， ，则 ＝ － ， ＝ ＋ ，那么 · ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) )) ·( － )＝2. 答案：2 3（2013江苏，5分）．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝ BC.若AB，BE＝＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力． ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (＋ )＝－ ＋ ，所以λ1＝－.，即λ1＋λ2＝，λ2＝ 答案： 4．（2010安徽，5分）设向量a＝(1,0)，b＝()，则下列结论中正确的是(　　) ， A．|a|＝|b|　　　　　　　　　 B．a ·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直 解析：|a|＝；＝＝1，|b|＝ a·b＝1×＝0，故a－b与b垂直． －；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝＝＋0× 答案：D 5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐标为________． 解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧D )＝－cos 2，所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－＝2，故∠DCP＝2弧度，则在△PCQ中，∠PCQ＝(2－的坐标． 答案：(2－sin 2,1－cos 2) 6．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________. 解析：设AC与BD的交点为O，则 · ＝ ·2 ＝2 2＋2 · ＝2×32＋0＝18. 答案：18 7．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝]． ，，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[∈[，因此sin〈α，β〉＝|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin〈α，β〉＝ 答案：[]， 8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：由于 α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝.＝＝ 答案： $$2009~2013年高考真题备选题库 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 考点 平面向量的基本定理及坐标表示 1．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量 同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　本题主要考查向量的坐标表示．由已知， 得 ＝(3，－4)，所以| |＝5，因此与 同方向的单位向量是 ＝. 2．（2013福建，5分）在四边形ABCD中， ＝(1,2)， ＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：选C　本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基