1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　空间向量的概念及线性运算 1．下列四个命题中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| 解析　对于A，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；对于B，向量是不能比较大小的，故B错误；对于C，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；只有D正确． 答案　D 2．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其重心，则＋－－的化简结果是(　　) A． B．2 C．0 D．2 解析　如图所示，取BC的中点F，则＝． 又E为正三角形BCD的重心， 即DF上靠近F的三等分点， 所以＝， 则＋－－＝＋－－ ＝＋－＝－＝0． 答案　C 3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④ 与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度不一定相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同，为相等向量．故互为相反向量的有2对． 答案　B 4．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各结论中的正确结论是(　　) A．＋与＋是一对相反向量 B．－与－是一对相反向量 C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D．－与－是一对相反向量 解析　如图，在矩形ADC1B1中，E，F分别为AD，B1C1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知＋＝2，＋＝2，又＝－， ∴命题A正确．由于－＝，－＝， ∴－与－不是相反向量， ∴命题B不正确．同理可得命题C、D是正确的． 答案　ACD 5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是D1D的中点，N是AC1上的点，且＝，用a，b，c表示向量的结果是(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b－c D．a－b－c 解析　连接C1M， ∵＝， 可得：＝． ∵＝＋＝＋＝c＋a＋b， ∴＝＝－c－a－b．又∵＝－a－c， ∴＝－ ＝－c－a－b－＝a－b－c， ∴＝a－b－c． 答案　D 6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________． 解析　＝＋＋ ＝＋＋(＋) ＝＋＋(－＋) ＝＋＋． 答案　＋＋ 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝________． 解析　根据向量的线性运算， ＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝． 答案　(c－a) 8．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式． (1)＋； (2)＋＋； (3)＋－． 解　(1)＋＝． (2)＋＋＝＋＝． (3)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝． 9．如图，在空间四边形ABCD中，AB的中点为E，DC的中点为F，证明：＝(＋)． 证明　证法一　设AC的中点为G，连接EG，FG． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴＝，＝． 故＝＋＝(＋)． 证法二　∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴＋＝0，＋＝0． ∵＝＋＋， ＝＋＋， ∴2＝＋， ∴＝(＋)． 证法三　∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴＝(＋)，＝(＋)， ∴＝－＝(＋－－) ＝[(－)＋(－)]＝(＋)． 10．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c 解析　＝(＋)＝－＋(＋) ＝－＋＋ ＝－＋(－)＋(－) ＝－＋＋＝a－b＋c．故选C． 答案　C 11．设棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为S，向量的集合P＝{m|m＝，P1，P2∈S}，则P中长度为a的向量有________个． 解析　集合P是由长度为a的元素组成的，所以本题转化为求棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中的长度为a的对角线的条数．正方体对角线的长度为a，每一条体对角线对应2个向量，正方体共有4条体对角线． 答案　8 12．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||．其中一定不成立的是________． 解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；对于③：当，，方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当，，共线且与，方向相反时，有||－||＝||．只有②一定不成立． 答案　② 13．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′．求证：＋＋＝2． 证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴＝＋