1.2.3 直线与平面的夹角（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.3　直线与平面的夹角 1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，故选B． 答案　B 2．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则x轴与平面α所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　易知x轴的方向向量为m＝(1，0，0)，设x轴与平面α所成的为θ， 则sin θ＝|cos〈n，m〉|＝＝，∴θ＝，故选C． 答案　C 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则E(2，1，0)，F(1，0，2)，＝(－1，－1，2)． 因为y轴与平面AA1D1D垂直，则平面AA1D1D的一个法向量n＝(0，1，0)． 设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ， 则sin θ＝cos〈，n〉＝＝＝． ∴直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为． 答案　C 4．某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，PO是正四棱锥P－ABCD的高， 设底面边长为a，则底面积为S1＝a2，因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°， 所以∠PAO＝45°．又AO＝a，所以PA＝×a＝a，所以△PAB是正三角形，面积为S2＝a2，所以＝＝，故选D． 答案　D 5．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知易得该三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，如图所示．在三棱锥S－ABC中，O为底面中心，则易得SO⊥AO，AO＝，SA＝2，则∠SAO即为侧棱与底面所成的角，则cos∠SAO＝＝，故选D． 答案　D 6．有一块直角三角板ABC，∠A＝30°，∠C＝90°，BC边贴于桌面上，当三角板和桌面成45°角时，AB边与桌面所成角的正弦值是________． 解析　过A作AO垂直桌面于O，连接OC，OB(图略)，三角板所在平面与桌面成45°角，即∠ACO＝45°，设AO＝1，则AC＝，∴AB＝．∵AB边与桌面所成角等于∠ABO，∴sin∠ABO＝＝． 答案　 7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________． 解析　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)， ＝(1，－，－1)，＝，＝(1，0，－1)． 设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量， 所以|cos〈n，〉|＝＝， 所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为． 答案　 8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC． (1)求证：平面PAB⊥平面PBC； (2)若PA＝AC＝2AB，D是PC的中点，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值． 解　(1)证明　∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC．又AB⊥BC，且PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC． (2)过点A作AE⊥PB，连接DE， ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AE⊥PB， ∴AE⊥平面PBC， ∴∠ADE是直线AD与平面PBC所成角，且sin∠ADE＝． 设PA＝AC＝2AB＝2a， 则根据等面积可知PA·AB＝PB·AE， ∴AE＝a， AD＝PA＝a，∴sin∠ADE＝＝， 所以直线AD与平面PBC所成角的正弦值为． 9．如图，在四棱锥E－ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M分别为线段AD，DE的中点．四边形BCDO是边长为1的正方形，AE＝DE，AE⊥DE． (1)求证：CM∥平面ABE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值． 解　(1)证明　如图取线段AE中点P，连接BP，MP， ∵M为DE中点，∴MP∥AD，MP＝AD． 又四边形BCDO是边长为1的正方形， ∴BC∥DO，BC＝DO， ∴BC∥MP，BC＝MP，∴四边形BCMP为平行四边形，∴CM∥BP．