1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1．(2022·烟台高二月考)(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) 解析　＝(2，4，6)＝2(1，2，3)＝－2(－1，－2，－3)， 故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1，－2，－3)． 答案　AC 2．已知a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 解析　因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0， a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0， 所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c， 即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直． 答案　A 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝ 解析　∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝＝，x＝6，y＝．故选D． 答案　D 4．设直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C． D．3 解析　因为l1⊥l2，所以a⊥b．因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，解得m＝2，故选B． 答案　B 5．(2022·徐州高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，设AC交BD于点O，则异面直线A1O与BD1所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为AB＝AD＝1，AA1＝2， 所以A1(1，0，2)， B(1，1，0)，O，D1(0，0，2)， ＝，＝(－1，－1，2)， 则cos〈，〉＝＝． 答案　D 6．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为________． 解析　设M(x，y，z)， 又＝(－1，1，0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)， 由题意得∴ ∴点M的坐标为． 答案　 7．如图，在正四棱锥V－ABCD中，E为BC的中点，AB＝AV＝2，已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角的余弦值为，则＝________． 解析　连接AC，BD交于点O，则AC⊥BD， 因为四棱锥V－ABCD为正四棱锥，故VO⊥底面ABCD， 以点O为坐标原点，OA，OB，OV所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，E， V，B， 设＝λ＝λ＝，其中0≤λ＜1，＝(0，－，)，则＝＋＝， ∴＝，由已知可得|cos ＜，＞|＝＝＝， 整理可得6λ2－λ－2＝0．因为0≤λ＜1，解得λ＝，即＝． 答案　 8．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c，＝b＋c， ＝＋＝c＋(a＋b)． 设存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 则a＋c＝x(b＋c)＋y ＝a＋b＋(x＋y)c． ∵a，b，c不共线，∴，解得 ∴＝－＋2，即向量，，共面． ∵向量不在，所确定的平面OC1D内， ∴B1C∥平面OC1D． 9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，若侧棱C1C的中点为D，求证：AB1⊥A1D． 证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1，连接OC，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1，C1， A，B1，D， ∴＝， ＝(1，0，1)， ∴·＝＋0－＝0， ∴⊥，即AB1⊥A1D． 10．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　法一　如图，在平面ABFE中，过F作FG∥AE交AB于G，连接CG，则∠CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角．设EF＝1，则A