1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（课时练习）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第17页] 1．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1≠0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，所以p是真命题，¬p是假命题． 答案　C 2．命题“正方形都是菱形”的否定是(　　) A．任意一个正方形，它是菱形 B．任意一个正方形，它不是菱形 C．存在一个正方形，它不是菱形 D．存在一个正方形，它是菱形 解析　全称命题的否定为存在量词命题．故选C. 答案　C 3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则(　　) A．¬p：∃x∈R，sin x＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1 C．¬p：∃x∈R，sin x≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1 解析　根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1，故选A. 答案　A 4．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是(　　) A．∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 B．∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 D．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根 解析　根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”．故选C. 答案　C 5．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则¬p：____________________________ ________________________________________________________________________. 答案　∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或有两个解 6．若命题“存在x＜2 022，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由于命题“存在x＜2 022，x＞a”是假命题，因此其命题的否定“对任意x＜2 022，x≤a”是真命题．所以a≥2 022. 答案　a≥2 022 7．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，＜x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． 解　(1)¬p：∃x∈R，x2＜－1.由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x.将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此¬q是真命题． (3)¬s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题． 8．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x－2＝0 解析　选项A，B，C中的命题均为假命题，其否定为真命题；D中命题为真命题，其否定为假命题． 答案　D 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9” C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 解析　命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔|x|＞|y|，|x|＞|y|不能推出x＞y，x＞y也不能推出|x|＞|y|，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确．故选BD. 答案　BD 10．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1} C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1} 解析　因为p为假命题．所以¬p为真命题，即：∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.故选B. 答案　B 11．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是____________________． 解析　写全称量词命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”． 答