1.4.2 充要条件（课时练习）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第13页] 1．“x＞0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由“x＞0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件． 答案　A 2．“a＞b”是“a＞|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a＞|b|⇒a＞b，而a＞b推不出a＞|b|. 答案　B 3．设p：四边形为菱形，q：四边形的对角线互相垂直，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p⇒q；反之，四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，即qp.所以p是q的充分不必要条件． 答案　A 4．“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为A∩B＝A⇔A⊆B，所以“A∩B＝A”是“A＝B”的充要条件． 答案　C 5．“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是________． 解析　因为方程x2－2x－a＝0没有实数根，所以有Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1，因此“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的必要条件是a＜－1.反之，若a＜－1，则Δ＜0，方程x2－2x－a＝0无实数根，从而充分性成立．故“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是“a＜－1”． 答案　a＜－1 6．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________； (2)“x＜5”是“x＜3”的________________． 解析　(1)x2－1＝0⇔|x|－1＝0， ∴“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件； (2)x＜3⇒x＜5，但x＜5x＜3，∴“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件． 答案　(1)充要条件　(2)必要不充分条件 7．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. (2)q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 8．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 解析　x＜－2⇒x2＞4，但x2＞4⇒x＞2或x＜－2，故A正确；AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误；a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确；当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 9．(2022·北京高一检测)使不等式0＜＜1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜ B．x＞1 C．x＞2 D．x＜0 解析　0＜＜1⇒⇒x＞1，故使不等式0＜＜1成立的一个充分不必要条件可以是x＞2. 答案　C 10．已知p：{x|x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}．若p是q的充要条件，则实数m的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　由已知得p：{x|－2≤x≤10}．由p是q的充要条件得{x|－2≤x≤10}＝{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C. 答案　C 11．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________． 解析　当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案　－2 12．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的____________条